学号：2009041047华南师范大学学士学位论文题 目 浅析因式分解 学 生 指导教师年 级专 业 数学与应用数学系 别 数学系学 院 数学科学学院华南 师 范 大 学学士学位论文开题报告论文题目学生姓名指导教师年 级专 业2017年 1 月课题来源：教师提供。课题研究的目的和意义：中学代数式的问题，可以概括为四大类：计算、求值、化简、论证。解代数式问题的关键是通过代数运算，把代数作恒等变形。代数式恒等变形的重要手段之一是因式分解，它贯穿、渗透在各种代数式问题之中。 因式分解是在学习有理数和整式四则运算的基础上进行的，它为以后学习分式运算、解方程和方程组及代数式和三角函数式的恒等变形提供必要的基础。所以因式分解是中学代数教材的一个重要内容，它具有广泛的基础知识的功能。 由于进行因式分解时要灵活综合运用学过的有关数学基础知识，并且因式分解的途径多，技巧性强，逆向思维对中学生来讲具有一定的深广度，所以因式分解又是发展学生智能、培养能力、深化学生逆向思维的良好载体。正因为因式分解具有良好的培养能力和思维的功能，所以因式分解又是中学代数教材的一个难点。国内外同类课题研究现状及发展趋势：现查阅到的国内参考文献【1—11】中作者对因式分解都有一些思考和归纳总结，但都没有进行深入的研究，没有比较全面系统的探讨。在所查到的国外参考文献中，对因式分解都做了介绍，也给出了相关的例题说明，但未作深入系统的研究。课题研究的主要内容和方法，研究过程中的主要问题和解决办法：本课题主要分为五部分第一部分是因式分解的概念。第二部分是因式分解的方法。第三部分是因式分解在解题中的应用。第四部分是因式分解所涉及到的思想方法。第四部分是关于因式分解的错误分析。具体的研究方法 ：充分利用网络资源及校图书馆的资料，并对材料归纳总结，还要结合自己的见解。如果在写的过程中遇到不懂的问题，将会和指导老师研究，直到问题解决。研究过程中遇到的困难和问题，以及解决的办法：1.查找资料困难，去图书馆或者上网寻找。2.本课题理论性比较强，查找资料，客观判断问题。3.遇到自己无法解决的问题，找指导老师指导。课题研究起止时间和进度安排：(2012年10月15日-2012年11月15日)：确定论文题目。查找资料,完成毕业论文开题报告；(2013年1月31日-2013年2月 5 日)：查阅，收集和整理资料，对其进行综述；(2013年2月 13日-2013年3月1 日)：中期检查，情况汇报；(2013年3月8日-2013年4月1日)：完成总结。整理全文,完成论文初稿的撰写，交指导老师审阅；(2013年3月9日-2013年4月25日)：按指导老师意见，完成论文的修改以及论文答指导教师审查意见：指导教师 （签字） 　　　　年 月教研室（研究室）评审意见：____________教研室（研究室）主任 （签字） 　　　　年 月院（系）审查意见：____________院（系）主任 （签字） 　　　　年 月学 士 学 位 论 文题 目 浅析因式分解 学 生 潘雅清指导教师 王洪杰 讲师年 级 2009级专 业 数学与应用数学系 别 数学系学 院 数学与科学学院哈尔滨师范大学2013年4月因式分解浅析潘雅清摘 要：因式分解是数学中恒等变形的一种重要的方法，它在初等数学乃至高等数学中，都有广泛的应用。本论文首先运用类比和大量的举例对因式分解概念作了说明；其次给出了因式分解的一些方法以及应用过程，然后对因式分解中所涉及到的数学思想作了归纳和总结；最后通过调查分析了解了学生在学习因式分解中常出错的地方，并给出了应对方法。因为本论文主要从理论上阐述了因式分解中的一些重要内容及方法，因此对于一般因式、数域、公因式等的定义都没有另行叙述而直接采用。关键词： 因式分解 概念 方法 思想 错误分析一、因式分解概念在算术中，我们已掌握了整数分解质因数的概念，如：
；在此基础上，由数向式过渡，我们得到因式分解的一般定义：通常把一个多项式分解为几个不能再分的因式的乘积，称作多项式的因式分解。对于一个多项式能否因式分解，不能孤立的来考虑，在不同的数域内有不同的结论，为了说清楚这个问题，我们必须引进几个概念。1．所谓多项式在给定的数集内讨论，是指多项式中的一切系数，以及自变量所取的值，都要属于这个数集。例1 分解
的因式在有理数域中，它的分解式是：
，分解到这里就不能再继续分解，不然的话，分解式的系数将超出有理数的范围。在实数域中，它的分解式是：
，分解到这里，就不能再继续分解。在复数域中，它的分解式：
。由此可见，对多项式的分解，必须先明确系数的数域，再理解其不能再分的含义。2．当然因子和非当然因子。在给定的数集内，任一多项式总能被该数集内的一个非零数整除，而且所除得的商与原多项式只差一个非零数值因子。例2 在有理数集内分解
这种和原多项式只差一个非零数值因子的多项式叫做原多项式的当然因子，一切其他因子叫做原多项式的非当然因子。如上例中
，
，
，
，…等是
的当然因子，而
，
是它的非当然因子。因此，我们研究多项式的因式分解，只是从它能否表示成非当然因子的积来考虑的。3．可约多项式和不可约多项式。在某个数域上次数
的多项式
，如果他不能表示成这个数域上两个次数比
的次数低的多项式的乘积，我们称多项式
为这个数域上的不可约多项式。按照定义，一个多项式
是否可约，是依赖于它的系数域的。当系数域改变后，它的可约与否就可能改变。如在指定的数集内多项式有非当然因子，那么这个多项式在这个数集内是可约的，否则就叫做不可约。关于因式分解中不能再分问题，有几个重要命题。（1）在复数域。推论1 多项式
总可以在复数域中分解成
个一次式的积。推论2在复数域上，只有一次式是不可约的，任何大于
的多项式都是可约多项式。定理1如果实系数
次多项式
有一个虚数根
（其中
，
为实数，
），那么
也是
的根。例3 在复数域上分解下列各式：


其中
，（
，
，…，
）（2）在实数域。定理2在实数域中只存在一次和二次不可约多项式；任何次数
的多项式总是可约的。在实数集内，一个二次三项式
是不可约的充要条件是：
。例4 在实数域上分解下列各式：
(
的
，
在实数域上不能再分)

（因为在实数域上最多有二次不可约多项式，像上面的
一定可以再分，这一点往往会被忽略）（3）在有理数域。除一次式不可约外，次数高于一次的多项式，都可能会是不可约的。有理系数多项式可以归结为整系数多项式来讨论。设
是有理系数多项式，选取适当的整数
乘以
，总可以使
是整系数多项式，如果
的各项系数有公因式
，可以提出来，即
，
，其中
是各项系数互质的整系数多项式。例5
，这里
。关于整系数多项式的因式分解，有以下定理：定理3（艾森坦因
判别法）设
是一个整系数多项式，如果有一个素数
使得
那么
在有理数域上不可约。
例6 证明下列各式在有理数域上不可约。①
证：
，
，
，
，
；取
，因为
能整除
，，
,
，
；
不能整除
，
不能整除
，由艾氏判别法知，原式在有理数上不可约。②
证：因为
，
，
；取素数
，那么
不能整除
，
不能整除
，
能整除
，故由艾氏判别法知，
在有理数域上不可约。在中学课本中，一方面以“把一个多项式化为几个整式的积的形式叫做多项式的因式分解。”来替代本文开头的严格定义；另一方面又加了几个注意：“分解因式必须分解到每一个因式都不能分解为止。”而在中学范围内，学生所掌握的数还只限于有理数。因此，“分解到每一个因式都不能分解为止”是指所分得因式的系数为有理数。随着学生接触的数的范围不断扩大，这句话就有了新的意义，有些本来认为不能再分解了，而这时还可以继续分解。因此交代这个“注意”时不要把话说死了，而要留有余地。二、 因式分解的一般解法㈠ 一元多项式的因式分解
1．根据多项式的有理根，
要是
的根则
就是
的因式，根据多项式的有理根可知，要是
得根必须是
的形式，其中
,
是多项式最高次项系数的约数，
是多项数常数项的约数。
给出
所有的
的值再逐一的验证，实际问题中的根往往是整数，所以我们可以优先验证整数，在具体的题里我们可以优先验证那些相对小的整数。2．根据多项式的标准分解式，在理论上已经证明任意一个次数大于0的多项式都可以分解成为不可约多项式乘积的形式，即
都可以分解成
则
其中每个
都不能整除
。由于
存在
使
。由此可见
和
具有完全相同的形式，差别只是
中的因式的重数为
，所以求的因式就可以转化成求的因式。例1 求多项式
的标准分解式。解：由
，
，得

，所以
得不可约因式为
。但是
，又由重因式定理，
是
的
重因式，所以
。㈡ 二元一次多项式的因式分解1．提取公因式 ⑴ 找多项式每项的公因式；⑵ 提公因式 。注意问题：⑴ 每个括号多不能提； ⑵ 每个括号的第一项不能提数； ⑶ 数字的最大约数不一定为
； ⑷
；
；
。⑸ 分解后答案不能有多重括号，每个括号都要化简； ⑹ 数字和单个字母要写在最前面； ⑺ 能变相同的要写相同因式； ⑻ 求代数的值：先因式分解在求值。2．公式法 ⑴ 平方差公式：
；注意：分解的结果不能为根号。 ⑵ 完全平方公式：
； 注意：⑴ 必须是三项式。 ⑵ 有两个“项”的平方（有两个“项”的符号相同）。⑶ 有这两“项”的
倍或
倍。3．分组分解法如果整式是
项：分组方法有

分，

分；（必须是完全平方） 　　
项：分组分解是

分； 　　
项：分组分解是


分；


分；

分。例2 分解因式
。解法一：

分



解法二：

分



4．十字相乘法定义：⑴ 常数项是正数时，它分解成两个同号的因数，它们与一次项系数符号相同。 ⑵ 常数项是负数时，它分解成两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次系数符号相同。例3 分解因式
。分析
解：

例4 分解因式
。分析
解：

㈢ 二元二次多项式的因式分解二元二次多项式
⑴的因式分解，与二元二次方程租的求解及二次曲线的讨论都有密切的关系。对⑴的因式分解，一般都是采用待定系数法。
假设
能分解为两个一次因式
和
的乘积，即

与⑴比较，应有
⑵
⑶
⑷反之如果存在实数
使⑵，⑶，⑷三个式子同时成立，则
必可以分解成为两个一次因式
和
的乘积。由此可知，如果
、
和
至少有一个不能分解，或者不存在使⑵，⑶，⑷三个式子同时满足
、
、
、
、
、
的实数，则
就不可以分解成为两个一次因式的乘积。在解题的时候，我们可以先求出⑵、⑶、⑷中任意两个分解式，再验证另外一个式子是否成立。例5 判断下列两个多项式是否可以分解成为两个一次因式的乘积。若能分解，求出其分解式。①
②
解：因为
,
,
。所以
。原式可以分解为两个一次因式的乘积：
② 显然，
在实数范围内不能分解，所以原式不能分解成为两个一次因式的乘积。.对于系数比较简单的情形，我们可以不写出分解式⑵、⑶、⑷，而只要利用十字相乘法便可以得到结果。三、因式分解的特殊解法1．拆项法它是指把多项式的某一项分裂成为两项，利用分组来分解因式的方法，它常适用于双二次三项式、二次三项式、三次四项式、四次二项式、四次三项式等多项式的因式分解。例1 分解因式
。分析 把常数
项分解为
解：






例2 在有理数范围内分解因式
。分析 把二次项
分解为两项
解：





2．添项法它是指在多项式中添加某一辅助项，利用分组来分解因式的方法。它也常适用于双二次三项式、二次三项式、三次四项式、四次二项式、四次三项式等多项式的因式分解。例3 在有理数范围内分解因式
。分析 添加辅助项
解：





3．待定系数法它是指形如二次二项式
，在指定数域内能分解成为
，通过恒等的性质，确定
、
、
、
, 待定分解因式的方法。它适用于有二次齐次项的多项式的因式分解，以及某些缺项的高次多项式的因式分解。例4 分解因式
。解：由
设原式

与原式比较对应项系数，得


解得
故
。4．对称法它是指形如二元二次式
形式的多项式的因式分解的方法。他通常有一般的解法和特殊的解法两种。一般说来，在初中阶段应重点掌握特殊解法。例5 分解因式
。分析 当
时原式
，故可断定
是原式的一个因子，同理
、
也是原式的因子解：设原式
，令
；把他们代入等式的两边，得
化简整理，得
，解得
。故
。5．综合除法法它是指根据多项式的除法原理，找出多项式的有理因式，再寻求因式分解的方法。它常适用于高次多项式的因式分解。例6 分解因式
。分析 设
，则可知
，
。故可断定原式有因子
或
，通过综合除法，可找出其余的因子解：由经验得
、
，均为
的根，可知原式有
或
两个因子，根据多项式除法，得

四、因式分解在解题中的运用1．在求值问题中的运用例1 已知
求
的值。解：由
对
分别配方，得
因为
，
，
所以
于是得到
故
。本题是利用配方法将已知等式化成
的形式，从而得出
。例2 已知
为任意实数，试求
的最小值。解：因为
，由于
，且仅当
时
，故
。且仅当
时
，因此得到
最小值是
，仅当
时，
。由以上两例的求解过程可以看出，利用配方法变形代数式以达到问题的解决是一种常用的方法。2．在分式运算中的运用例3 化简
。解：




例4 计算
。解：




对分式的运算，通常应先化简，因而应将因式的分子，分母分解因式后约分，然后再计算；当然，在运算过程中亦应注意简化。3．在二次根式计算中的运用例5 满足等式
的正整数对
的个数是（ ）。A．
；　　B．
；　　C．
；　　D．
。解：由等式
得出
此式重新组项，得
分别提取共因式，得出
进而得到
由于
>
，所以
。从而得出
，又因为
整数是质数，必然有
或
，故应选择答案 B。4．在等式恒等式中的运用例6 设n为正整数，且
⑴求证
。证明：⑴ 式去分母，移项得
⑵上式中，
时等式成立；又由上式左端的对称性可知，当
，
时，等式亦成立。注意到⑵式左端三次多项式，因而它可分解因式为
其中，
是一待定常数，令
即可得出
。这样，⑵式变形为
故，已知条件⑴式等价于
且
、
、
中至少有一个等于
。若
，由此有
，分别代入求证式的左、右两端，得到


　
故，当
时求证式成立。类似可证当时求证式亦成立，因此在条件之下求证式成立。此例中，已知式的变形（特别是其左端的因式分解）是解题的关键。五、因式分解中涉及的数学思想1．类比思想⑴利用数形性结合的方法，类比揭示因式分解是一种代数式的恒等变形。例1 观察图1和图2，求阴影部分的面积
　　我们可求出图1-1中阴影部分的面积是
，图1-2中阴影部分的面积是

同时观察图1-1和图1-2的结构可知图1-2是由图1-1的
部分旋转、平移后得到的，这两种图形变换不改变图形的面积，因此
。从而可认识到因式分解是一种式的恒等变形。　　（2）通过对比，加深学生对因式分解的理解。学习因式分解，首先要明确因式分解与整式乘法的联系与区别，即整式乘法是把几个整式相乘并展开为一个多项式。而因式分解是把一个多项式化成几个因式相乘，而且必须把每个因式分解到不能再分解为止。对此，我们总结出以下表格。表1-1整式乘法名称整式乘法因式分解因式分解名称特点单项式乘以多项式

提取公因式法提出各项公有的因式平方差公式

平方差公式法仅二项，都为完全平方项且为减法完全平方公式

完全平方二次三项式中，二项是完全平方式且为同号，另一项是两数积的2倍立方和或立方差公式

立方和或立方差二项和或差，且每项都为某数的立方多项式乘以多项式

分组分解法四项，分组后能直接提公因式

十字相乘法
二次三项式，二次项系数为1，且不为完全平方公式

二次三项式，二次项系数不为1，且不为完全平方公式通过列表，把整式乘法同因式分解对应起来，学生通过对比分析，就可以明确因式分解和整式乘法相互间的联系与区别。2． 转化思想转化思想就是对于不能直接分解的某些多项式，若通过转化，如添项拆项等变形，则可以因式分解。例2 在复数域分解因式
。　　解：这个式子可以配乘积项，利用平方差共公式分解　　
例 3 在有理数域分解因式
。　分析 这是一个五项式，没有公因式可提，也不能用公式法或分组分解，但其中有三项式
，如果把
拆成
，则可得平方差公式。　解：
　　　
　　3．换元思想将多项式的某些项用其它字母代换，通过换元可以将复杂的多项式转变成简单的多项式,将陌生的形式转变成熟悉的形式，再分解因式。　　例4 分解
。　解：设
，则把原始化为
，这是个二次三项式，它的分解式是
，再把
带回原式，则　
　
　　例5 分解
。　解：
　
　　设
，则上式为
原式为
　　
　　4．整体思想　用整体思想分解因式，是指将要分解的多项式中的某些项看成一个整体而加以分解。　　六、错误分析　　现列出平时书面检测中，有关因式分解的问题。　　指出哪些是因式分解，那些不是因式分解。　　1）
　　2）
　　3）
　　4）
　　经过调查发现正确指出４）题是因式分解的学生占90%，正确指出１）２）３）不是因式分解的学生各占81%、68%、68% ，２）３）两题等号右边有一部分和因式分解相似，答对的人数明显降低，这是因为学生对定义中“几个整式的积的形式”作了片面的理解。当他们看见等式右边的一部分式子具有“积的形式”，与因式分解相似，就把它与因式分解等同起来，因此，指出错误的题目就要比指出正确的题目要困难些。　　经过类似的调查和分析，我们知道了学生在因式分解中出错的主要原因是：　　1）混淆了乘法运算和因式分解，如：
（分解后又作乘法）；　　2）只“分解”多项式的某几项，如：
；　　3）不知分解到何时为止，尤其把“不会”与“不能”混淆，以为不会就是不能；　　4）不正确的按字母按顺序分，如：
；　　5）不能正确地改变符号，如：
；　　针对以上情况，应采取以下措施：　　类比质因式数提出分解多项式的问题，并且指出多项式因式分解是把一个多项式分成几个整式的积的形式。再对比说明，乘法运算是把几个整式“乘出来”。　　要用实例让学生了解，尚能分解时，还要继续分解下去，直到不能再分解为止。要让学生注意字母型形象和各项顺序对因式分解的影响，并且要使学生充分掌握符号法则和基本顺序。　　参考文献：　[1] 牛继武 张羽 张寅 ．因式分解及其应用，天津市数学会，中学数学丛书，1998(1)．[2] 李颖．一元多项式因式分解的方法，大庆师范学院学报，2006(4)．[3] 霍思琼．二元二次式因式分解的简便方法，昭通师范高等专科学校学报，2001(9)．AUTHOR FACTORINGPanAbstract:Factoring is identical deformation of a kind of important method in mathematics, in elementary mathematics and higher mathematics, it has a wide range of applications. First, this thesis applies analogy and a large number of example explains the factoring concept; Secondly gives some methods and factoring in the application process, and then involved in factoring are introduced, and summarizes the mathematical thought; Finally through the investigation and analysis to understand the students in factoring often make mistakes, and gives a method to deal with. Because factoring is mainly from the theory proposed in this paper some important content and method, thus for the factor, the average number field, the definition of a common factor, such as no directly by using separately.Key words: Factoring concept method error analysis论文评阅人意见论文（设计）题目论文（设计）题目浅析因式分解作 者评阅人陶玉娟评阅人职称副教授意 见该论文以一阶微分方程为主题，先介绍了微分方程及一阶微分方程的几种初等解法类型，总结了这些不同类型方程可借助变量分离法、猜测检验法、常数变易法或积分因子法化为变量分离方程，从而归纳了微分方程求解问题。然后把微分方程求解问题转化为积分问题，应用到生活实际中。选题基本符合专业培养目标，论文写作态度认真负责，论文内容较充分，参考的相关资料比较全面，格式正确，书写规范，条理清晰，语言流畅。文章篇幅完全符合学院毕业论文的相关规定，内容整洁，层次结构安排科学，主要观点突出，逻辑关系清楚，有一定的个人见解。评阅人签字评阅意见浅析因式分解作 者潘雅清评阅人石峰评阅人职称讲师意 见该论文选题比较合理，符合专业培养目标。全文以一阶微分方程为主题来论证分析。先介绍了微分方程及一阶微分方程的几种初等解法类型，总结了这些不同类型方程可借助变量分离法、猜测检验法、常数变易法或积分因子法化为变量分离方程，从而归纳了微分方程求解问题。然后把微分方程求解问题转化为积分问题，应用到生活实际中。用理论指导实践，由抽象总结出具体规律。全文结构符合要求，逻辑思路清晰，论据较充分分，语句基本通顺，层次清晰，观点表达准确。查阅与参考的文献资料与主题结合的比较紧密。评阅人签字评阅意见论文评阅人意见指导教师评语页论文（设计）题目浅析因式分解作 者潘雅清指导教师王洪杰职 称讲师评 语本论文选题符合专业培养目标，能较好地综合运用所学知识解决问题，所得到的数据较合理，结论正确，有一定的创新见解。论文题目难度适中，工作量较大，该生查阅文献资料能力较强，能全面分析问题，综合运用知识能力较强。论文写作态度认真负责，论文内容较充分，参考的相关资料比较全面，格式正确，书写规范，条理清晰，语言流畅。文章篇幅完全符合学院毕业论文的相关规定，内容整洁，层次结构安排科学，主要观点突出，逻辑关系清楚，有一定的个人见解。指导教师签字论文等级本科毕业论文（设计）答辩过程记录院系 数学科学学院 专业 数学与应用数学 年级 2009级答辩人姓名 潘雅清 学号 2009041047毕业论文（设计）题目 浅析因式分解毕业论文（设计）答辩过程记录：答辩是否通过：通过（ ） 未通过（ ）记录员 答辩小组组长签字 年 月 日 年 月 日本科毕业论文（设计）答辩登记表院（系）：数学科学学院 专业：数学与应用数学 年级：2009级论文（设计）题目：浅析因式分解答辩人：潘雅清学号：2009041047评阅人：石峰 陶玉娟指导教师： 王洪杰 论文（设计）等级：答辩小组成员：石峰 陶玉娟 王洪杰 关琪 林立军答辩小组意见：秘书签名：年 月 日论文（设计）答辩是否通过：通过（ ） 未通过（ ）论文（设计）最终等级：答辩小组组长签名：答辩委员会主席签名：