11.2.1 三角形的内角 （第1课时）

学习目标： 1、理解三角形内角和定理的内容，能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题。 2、首次经历利用辅助线进行证明，感受辅助线的作用，并对辅助线的使用形成初步的认识。 重点：三角形内角和定理的证明和应用。 难点：三角形内角和定理的推理过程以及辅助线的使用11.2.1三角形的内角

阅读P11-13，思考下列问题： 1.三角形的内角和是多少 ？ 2.如何证明三角形内角和定理 ？

你有哪些方法可以验证三角形内角和是180°.方法一:通过具体的度量,验证三角形的内角和 为180°.叫度量法。 然而，数学中形状不同的三角形不计其数，你能用量角器一个一个测量完吗?于是我们想能否找到一种科学的方法来证明所有的三角形内角和都是180°呢？

活动一，拼剪法——验证三角形内角和（1）在事先准备好的三角形纸片上标上三个内角的号码1、2、3如图 213（2）动手操作，将∠1撕下,按右图拼在一起,其中∠A的顶点与∠C的顶点重合, 它的一边与AC重合，将∠2撕下拼在∠1的右边，（跟随幻灯片演示操作）。图（1）思考： ∠1＋ ∠２＋ ∠３＝？

（3）动手操作，将∠2与∠3撕下,按下图拼在顶点A一起（跟随幻灯片演示操作）。AＣB思考： ∠1＋ ∠２＋ ∠３＝？ 　

为什么要证明 　　按照上面的方法,已经可以验证一些具体的三角形的内角和是180°,但是由于形状不同的三角形有无数多个,我们不可能通过上面的办法一一验证.再加上其验证过程中可能存在误差,不能保证其有效性.所以我们需要一种能证明任意一个三角形的内角和等于180°的方法.这个方法就是—证明.

活动二，说一说——推理证明三角形内角和定理师: 如果我们不用剪、拼的办法, 可不可以利用推理论证的方法来证明这个定理呢?现在就让我们一起来探索这个问题吧! 思考？（１）在证明之前我们要将文字语言转化成图形语言，图形你会画吗？ （２）图形画好了，还要将文字语言转化成符号语言，写出已知什么？求证什么？怎么写呢？（3）怎样用符号语言写出推理说明的过程呢？

三角形的内角和等于180°.已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C是它的三个内角. 从刚才拼角操作过程的过程你能想出证明的思路吗?求证： ∠A+∠B+∠C=180°

21CBA证法1：过A作直线EF ，使EF∥BA.∵ EF∥BA∴∠B=∠2 (两直线平行,内错角相等)同理 ∠C=∠1∵∠2、∠BAC 、∠1组成平角，∴∠ 2+∠BAC +∠1 =180° （平角定义）∴∠B+∠BAC +∠C =180° （等量代换）

∴ ∠A=∠1 (两直线平行，内错角相等) ∠B=∠2(两直线平行，同位角相等) ∵∠ACB 、∠1 、∠2组成平角， ∴∠ACB +1+∠2 =180°（平角定义） ∴∠ACB+ ∠A+∠B =180°（等量代换）21CBA证法2：延长BC到D，过C作CE∥BA，

从上面的两种证明方法中，大家能否找到它们的异同点？它们的思路是否一致呢?相同点: 都是把三角形的三个内角拼到一起，根据 平角的定义证明三角形的内角和是180°; 不同点:辅助线的作法不同。

在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添加的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角，再利用平行线的性质就能解决。这种转化思想是数学中的常用方法.

类似方法 证法3已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180° 证明：在BC上取一点D，过点D作DE∥BA， DF ∥CA 　∴ ∠BDF＝ ∠C，∠EDC＝ ∠B (两直线平行，同位角相等） 　　∠EDF=∠DEC=∠A（两直线平行，内错角相等） 　D∵ ∠BDF＋ ∠EDF＋ ∠EDC＝１８０ ° 　∴ ∠A＋ ∠B＋ ∠C＝１８０ °

∴∠B=∠BAE (两直线平行,内错角相等) ∠EAB+∠BAC+∠C=180° (两直线平行,同旁内角互补) ∴∠B+∠C+∠BAC=180°CBA证法4：过A作AE∥BC，其他思路方法结论：三角形的内角和等于180°.

例1 如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数解：∵ ∠BAC=40°， AD是△ABC的角平分线∴∠BAD=∠BAC=20° 在△ABC中 ∴∠ADB= 180°－ ∠B － ∠BAD= 180°－ 75° －20°= 85°

共同做一做 例2如图C岛在A岛的北偏东50°方向。B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？ 解： ∠CAB= ∠BAD-∠CAD=80°-50°=30° 由AD∥BE，可得 ∠BAD+∠ABE=180° 所以∠ABE=180° -∠BAD=180°-80°=100° ∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60° 在△ABC中 ∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB =180°-60°-30°=90°北北DEABC答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°. 从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°.

８2 ° 1 在△ABC中，∠A=５5°，∠ B=43 ° 则∠A CB= . ∠ ＡＣＤ＝___ 2 在△ABC中,∠A=80°,∠B=∠C , 则∠C＝____度。 3在△ABC中， ∠A :∠B:∠C=2:3:4，则∠A = ∠ B= ∠ C= ９８° 50 巩固练习80 °40 °60 °

5一个三角形中最多有 个直角？为什么？ 6 一个三角形中最多有 个钝角？为什么？ 7一个三角形中至少有 个锐角？为什么？2118任意一个三角形中,最大的一个角的度数至少为_________60°4.△ABC中,若∠A＋∠B＝∠C,则△ABC是 三角形 ________直角9 教材P13 练习1,2题

练一练 1、 如图，从A处观测C处时仰角∠CAD=30°，从B处观测C 处时仰角∠CBD=45°，从C处观测A、B两处时视角 ∠ACB是多少？解：由∠ABC+∠CBD=180° 可得∠ABC=180°-45°=135° 在△ABC中 ∠ABC+∠CBA+∠ACB=180° 所以∠ACB=180°- ∠ABC- ∠CAD =180°-135°-30° =15°

课本13页练习2、如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠A=150 °，∠B=∠D=40 °。求∠C的度数。

课本13页练习2、如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠A=150 °，∠B=∠D=40 °。求∠C的度数。解： ∵四边形ABCD是左右对称的 ∴ ∠ＢＡＣ＝ ∠ＣＡＤ＝　　 ∠BAD = x 150 ° =75 ° 在 △ ABC中， ∠Ｂ＋ ∠ＢＡＣ＋ ∠ＡＣＢ＝１８０ ° 　　　 ∠ＡＣＢ＝ １８０ °－ ∠Ｂ－ ∠ＢＡＣ 　　　　　　　＝ １８０ °－75 °－４０ ° 　　　　　　　＝６５ ° 在 △ ACＤ中　同理可求： ∠ＡＣＤ＝ ６５ ° ∴ ∠ＢＣＤ＝ ∠ＡＣＢ＋ ∠ＡＣＤ 　　　　　＝ ６５ °＋ ６５ ° 　　　　　＝１３０ °

这节课你学到了什么?为什么要证明? 你掌握了几种内角和的证明方法? 你会应用内角和定理去解决一些问题吗?

作业：P16：5、6